Title: Par défaut
Tags: Analyse Trigonométrie DL Dérivées Complexes Intégration

Q: [$$]\ch(x)\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\ch(x)\underset{0}{=}1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})[/$$]

Q: [$$]\cos(x)\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\cos(x)\underset{0}{=}1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})[/$$]

Q: [$$]\sh(x)\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\sh(x)\underset{0}{=}x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})[/$$]

Q: [$$]\sin(x)\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\sin(x)\underset{0}{=}x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})[/$$]

Q: [$$](1+x)^\alpha\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$](1+x)^\alpha\underset{0}{=}1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)[/$$]

Q: [$$]\sqrt{1+x}\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\sqrt{1+x}\underset{0}{=}1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{2n(2n-3)!}{(2^nn!)^2}x^n+o(x^n)[/$$]

Q: [$$]\frac{1}{\sqrt{1+x}}\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\frac{1}{\sqrt{1+x}}\underset{0}{=}1-\frac{x}{2}+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)!}{(2^nn!)^2}x^n+o(x^n)[/$$]

Q: [$$]\frac{1}{1-x}\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\frac{1}{1-x}\underset{0}{=}1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n)[/$$]

Q: [$$]\frac{1}{1+x}\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\frac{1}{1+x}\underset{0}{=}1-x+x^2-x^3+\cdots+(-x)^n+o(x^n)[/$$]

Q: [$$]\ln(1-x)\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\ln(1-x)\underset{0}{=}-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\cdots-\frac{x^n}{n}+o(x^n)[/$$]

Q: [$$]\ln(1+x)\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\ln(1+x)\underset{0}{=}x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)[/$$]

Q: [$$]\tan(x)\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\tan(x)\underset{0}{=}x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+o(x^8)[/$$]

Q: [$$]\Th(x)\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\Th(x)\underset{0}{=}x-\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+o(x^8)[/$$]

Q: [$$]\arctan(x)\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\arctan(x)\underset{0}{=}x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})[/$$]

Q: [$$]\argth(x)\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]\argth(x)\underset{0}{=}x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})[/$$]

Q: [$$]\forall\theta\in\R,e^{i\theta}=[/$$]
A: [$$]e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta[/$$]

Q: [$$]\forall\theta\in\R,\cos\theta+i\sin\theta=[/$$]
A: [$$]\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}[/$$]

Q: [latex]Formules d'Euler[/latex]
A: [$$]\begin{aligned}
    \forall\theta\in\R,&\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\
    &\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}
\end{aligned}[/$$]

Q: [latex]Formule de Moivre[/latex]
A: [$$]\begin{array}{c}\forall\theta\in\R,\forall n\in\Z,\\\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)^n\end{array}[/$$]

Q: [$$](\cos u)'=[/$$]
A: [$$](\cos u)'=-u'\sin u[/$$]

Q: [$$](\sin u)'=[/$$]
A: [$$](\sin u)'=u'\cos u[/$$]

Q: [$$](\tan u)'=[/$$]
A: [$$](\tan u)'=\left\{\begin{aligned}
&u'\left(1+\tan^2 u\right)\\ &\frac{u'}{\cos^2 u}
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [$$](\arccos u)'=[/$$]
A: [$$](\arccos u)'=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}[/$$]

Q: [$$](\arcsin u)'=[/$$]
A: [$$](\arcsin u)'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}[/$$]

Q: [$$](\arctan u)'=[/$$]
A: [$$](\arctan u)'=\frac{u'}{1+u^2}[/$$]

Q: [$$]t=\tan\frac{\alpha}{2},\alpha\not=\pi[2\pi],\cos\alpha=[/$$]
A: [$$]\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/$$]

Q: [$$]t=\tan\frac{\alpha}{2},\alpha\not=\pi[2\pi],\sin\alpha=[/$$]
A: [$$]\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}[/$$]

Q: [$$]t=\tan\frac{\alpha}{2},\alpha\not=\frac{\pi}{2}[\pi],\tan\alpha=[/$$]
A: [$$]\tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}[/$$]

Q: [$$]\forall x\in[-1,1],\arcsin(-x)=[/$$]
A: [$$]\arcsin(-x)=-\arcsin x[/$$]

Q: [$$]\forall x\in[-1,1],\arccos(-x)=[/$$]
A: [$$]\arccos(-x)=\pi-\arccos x[/$$]

Q: [$$]\forall x\in[-1,1],\pi-\arccos x=[/$$]
A: [$$]\pi-\arccos x=\arccos(-x)[/$$]

Q: [$$]\forall x\in[-1,1],\arccos x +\arcsin x=[/$$]
A: [$$]\arccos x +\arcsin x=\frac{\pi}{2}[/$$]

Q: [$$]\forall x\in\R,\arctan(-x)=[/$$]
A: [$$]\arctan(-x)=-\arctan x[/$$]

Q: [$$]\forall x\in\R^*,\arctan x+\arctan\left(\frac{1}{x} \right )=[/$$]
A: [$$]\arctan x+\arctan\left(\frac{1}{x} \right )=\left\{\begin{aligned}
\frac{\pi}{2}\text{ si }x>0\\
-\frac{\pi}{2}\text{ si }x<0
\end{aligned}\right.[/$$]

Q: [$$]\cos{0}=[/$$]
A: [$$]\cos{0}=1[/$$]

Q: [$$]\cos{\frac{\pi}{2}}=[/$$]
A: [$$]\cos{\frac{\pi}{2}}=0[/$$]

Q: [$$]\cos{\frac{\pi}{3}}=[/$$]
A: [$$]\cos{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}[/$$]

Q: [$$]\cos{\frac{\pi}{4}}=[/$$]
A: [$$]\cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/$$]

Q: [$$]\cos{\frac{\pi}{6}}=[/$$]
A: [$$]\cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/$$]

Q: [$$]\sin{0}=[/$$]
A: [$$]\sin{0}=0[/$$]

Q: [$$]\sin{\frac{\pi}{2}}=[/$$]
A: [$$]\sin{\frac{\pi}{2}}=1[/$$]

Q: [$$]\sin{\frac{\pi}{3}}=[/$$]
A: [$$]\sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/$$]

Q: [$$]\sin{\frac{\pi}{4}}=[/$$]
A: [$$]\sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/$$]

Q: [$$]\sin{\frac{\pi}{6}}=[/$$]
A: [$$]\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}[/$$]

Q: [$$]\tan{0}=[/$$]
A: [$$]\tan{0}=0[/$$]

Q: [$$]\tan{\frac{\pi}{3}}=[/$$]
A: [$$]\tan{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}[/$$]

Q: [$$]\tan{\frac{\pi}{4}}=[/$$]
A: [$$]\tan{\frac{\pi}{4}}=1[/$$]

Q: [$$]\tan{\frac{\pi}{6}}=[/$$]
A: [$$]\tan{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/$$]

Q: [$$]\cos^2x[/$$]
A: [$$]\frac{1+\cos(2x)}{2}[/$$]

Q: [$$]\sin^2x[/$$]
A: [$$]\frac{1-\cos(2x)}{2}[/$$]

Q: [$$]\cos(a+b)[/$$]
A: [$$]\cos a\cos b-\sin a\sin b[/$$]

Q: [$$]\sin(a+b)[/$$]
A: [$$]\sin a\cos b+\cos a\sin b[/$$]

Q: [$$]\tan(a+b)[/$$]
A: [$$]\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}[/$$]

Q: [$$]\cos a+\cos b[/$$]
A: [$$]2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)[/$$]

Q: [$$]\cos a-\cos b[/$$]
A: [$$]-2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)[/$$]

Q: [$$]\sin a+\sin b[/$$]
A: [$$]2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)[/$$]

Q: [$$]\cos a\cos b[/$$]
A: [$$]\frac{\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}[/$$]

Q: [$$]\sin a\sin b[/$$]
A: [$$]\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}[/$$]

Q: [$$]\sin a\cos b[/$$]
A: [$$]\frac{\sin(a-b)+\sin(a+b)}{2}[/$$]

Q: [$$]\forall x\in\R,\cos^2 x+\sin^2 x=[/$$]
A: [$$]\cos^2 x+\sin^2 x=1[/$$]

Q: [$$]e^x\underset{0}{=}[/$$]
A: [$$]e^x\underset{0}{=}1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)[/$$]

Q: [$$]\forall k\in\N,\forall x\in\R,\cos^{(k)}(x)=[/$$]
A: [$$]\forall k\in\N,\forall x\in\R,\cos^{(k)}(x)=\cos\left(x+\frac{k\pi}{2}\right)[/$$]

Q: [$$]\forall k\in\N,\forall x\in\R,\sin^{(k)}(x)=[/$$]
A: [$$]\forall k\in\N,\forall x\in\R,\sin^{(k)}(x)=\sin\left(x+\frac{k\pi}{2}\right)[/$$]

Q: [latex]$\cos(a-b)$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}\cos a\cos b+\sin a\sin b\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]$\sin(a-b)$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}\sin a\cos b-\cos a\sin b\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]$\tan(a-b)$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]$\sin a-\sin b$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]$\tan a+\tan b$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}\frac{\sin(a+b)}{\cos a\cos b}\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]$\cos(2a)$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}\cos^2 a-\sin^2 a\end{equation*}[/latex]

Q: [latex]$\sin(2a)$[/latex]
A: [latex]\begin{equation*}2\sin a\cos a\end{equation*}[/latex]